La falacia del jugador y la ley de probabilidades

Ahora que el club Monterrey está en la final, existe la posibilidad de que sea campeón. Si no conocen el ambiente futbolero de Monterrey, lo único que deben saber es que en la ciudad hay dos equipos en primera división y hay una buena proporción de aficionados a uno u otro equipo. En esta ocasión el club Monterrey llegó a la final mientras que el club Tigres no calificó a la fase de eliminatorias. Suele ocurrir que quienes le van al Monterrey se alegran de las derrotas del Tigres y viceversa. Supongo que en el fondo no es más que una diversión local sin mayores consecuencias. En estos días escuché a un aficionado de Tigres explicar que en la final, el club Santos Laguna (el otro finalista) tiene más probabilidades de ganar por simple ley de probabilidades. Su razonamiento fue el siguiente:

“Los entrenadores de ambos equipos ya han llegado a la final (con diferentes clubes) en otras ocasiones, pero el entrenador del Monterrey siempre que ha llegado a la final su equipo ha quedado campeón, mientras que el entrenador del Santos Laguna nunca lo ha logrado. Por ley de probabilidades, ahora es más probable que el que nunca lo ha sido gane.”

En otras palabras, lo que dice es que una buena racha de 10 finales ganadas es más improbable que una buena racha de 9 finales ganadas y una final perdida.

¿Es correcto este razonamiento o hay un error en él?

Voy a hacer una analogía muy simple. Supongamos que todas las veces en que cada entrenador lleva a su equipo a la final el resultado del último partido se decide lanzando una moneda al aire y cada equipo en liza selecciona una opción (“águila” o “sol”, serían las opciones en México), y el equipo que escoge la opción que muestra la cara de la moneda hacia arriba al caer es coronado campeón. Bajo este supuesto ¿Qué probabilidad hay de que un equipo que llegó a la final sea campeón? Pues un 50%, claro.

¿Cambia esta probabilidad la siguiente vez que el equipo llega a la final? Claro que no, por lo que es claro que por ley de probabilidades no tiene ninguna relevancia el que un entrenador haya ganado 9 veces seguidas para reducir la probabilidad de que corone a un equipo una décima.

Pero ¡Esperen! Hice una analogía muy alejada de la realidad. El campeonato no se decide lanzando una moneda, sino mediante un partido (en realidad un par de partidos) de futbol ¿Cambia esto mi razonamiento de descarte de la “la ley de probabilidades” que hice con la analogía de la moneda?

La respuesta es obvia si planteo la pregunta en los siguientes términos:

¿Es el resultado de un partido de futbol independiente del resultado de otro?

La respuesta es sí, siempre que los partidos sean independientes entre sí. Por ejemplo, si en un juego de semifinal un equipo gana en una jugada muy arriesgada en la que su goleador estrella resulta lesionado, entonces sí, el resultado de la semifinal puede afectar al resultado de la final. Pero aquí estamos hablando de finales de torneos diferentes, es decir por partidos entre los que habrán transcurrido por lo menos 6 meses, con lo que los equipos habrán tenido oportunidades, eventos y decisiones que habrán hecho que los resultados de un juego no tengan ninguna influencia en los resultados del otro.

Con lo dicho en el párrafo anterior queda claro que, si los resultados de las diferentes finales son eventos independientes, entonces la analogía con la moneda sigue siendo válida. Si los eventos son independientes no existe razón para pensar que la buena racha del entrenador del club Monterrey no puede extenderse en un juego más por ley de probabilidades.

¿Por qué algunas personas pueden pensar que una racha de 7 éxitos es más improbable que una racha de 6 éxitos y un fracaso?

Para ilustrarlo recurriré a una cita de John Allen Paulos de su libro “El hombre anumérico”:

“Quizás este resultado sea tan contrario a la intuición porque la mayoría de la gente suele pensar como si las desviaciones de la media estuvieran atadas a una banda elástica, de modo que, cuanto mayor fuera la desviación, mayor sería la fuerza recuperadora que tendiese a restaurar la media. La creencia errónea de que el hecho de que hayan salido varias caras seguidas hace más probable que la próxima vez salga cruz se conoce como «sofisma del jugador» (las mismas ideas valen para la ruleta y los dados).”

Ahora bien. No se me escapa el hecho de que un partido de futbol no es para nada equivalente al lanzamiento de una moneda. Un equipo puede tener mayores probabilidades de ganar que su oponente por razones muy diversas: porque su entrenamiento fue más adecuado, porque los jugadores están mejor motivados, porque la estrategia de su entrenador es más efectiva, porque los jugadores están más motivados o mejor alimentados o durmieron mejor o tienen menos problemas personales o mejores sueldos o porque hay jugadores más talentosos en su plantel, (o la favorita de los fanáticos) por la mala leche del árbitro o por otras causas, medibles o no.

Ante esto, hay que tomar en cuenta dos cosas:

1)      Que la analogía de la moneda sigue siendo la misma, con la diferencia que la probabilidad de ganar no será del 50% para cada equipo, sino mayor o menor según sean las condiciones existentes en cada caso. Pero cambiar la probabilidad es equivalente a sustituir la moneda por un dado, por una ruleta o por cualquier otro mecanismo de aleatoriedad independiente.

2)      Que si vamos a considerar factores que dependen del entrenador, de los jugadores, de los árbitros o del clima, entonces ya no podemos decir que el resultado está determinado por la “ley de las probabilidades” como afirmaba la persona a la que aludí al principio de este texto.

En lo personal, aunque a pesar de vivir en Monterrey no soy aficionado al futbol ni le voy a ninguno de los equipos locales, no sé por que pero la idea de que un equipo local (el que sea) gane el campeonato no deja de darme cierto gusto. Sé que es una emoción algo irracional pero que más da.